2024 ผู้เขียน: Malcolm Clapton | [email protected]. แก้ไขล่าสุด: 2023-12-17 04:12
ใครว่าสถิติเป็นศาสตร์ที่น่าเบื่อและไร้ประโยชน์? Charles Wheelan ให้เหตุผลอย่างน่าเชื่อถือว่าเรื่องนี้ยังห่างไกลจากกรณีนี้ วันนี้เราเผยแพร่ข้อความที่ตัดตอนมาจากหนังสือของเขาเกี่ยวกับการได้รถ ไม่ใช่แพะ โดยใช้สถิติ และเข้าใจว่าสัญชาตญาณอาจทำให้คุณเข้าใจผิด
มอนตี้ ฮอลล์ ริดเดิ้ล
Monty Hall Mystery เป็นปัญหาที่มีชื่อเสียงในทฤษฎีความน่าจะเป็นที่ทำให้ผู้เข้าร่วมเกมโชว์ที่ชื่อ Let's Make a Deal งุนงง ซึ่งยังคงได้รับความนิยมในหลายประเทศ ซึ่งฉายรอบปฐมทัศน์ในสหรัฐอเมริกาในปี 1963 (ฉันจำได้ทุกครั้งที่ดูรายการนี้เมื่อตอนเป็นเด็ก เมื่อฉันไม่ได้ไปโรงเรียนเนื่องจากเจ็บป่วย) ในบทนำของหนังสือเล่มนี้ ฉันได้ชี้ให้เห็นว่าเกมนี้น่าสนใจสำหรับนักสถิติ ในตอนท้ายของแต่ละประเด็น ผู้เข้าร่วมที่ไปถึงรอบชิงชนะเลิศยืนอยู่กับมอนตี้ ฮอลล์ ที่หน้าประตูใหญ่สามบาน: ประตูหมายเลข 1 ประตูหมายเลข 2 และประตูหมายเลข 3 มอนตี้ ฮอลล์อธิบายให้ผู้เข้ารอบสุดท้ายฟังว่าอยู่หลังหนึ่ง ของประตูเหล่านี้เป็นรางวัลที่มีค่ามาก - ตัวอย่างเช่นรถยนต์ใหม่และแพะหลังอีกสองคัน ผู้เข้ารอบสุดท้ายต้องเลือกประตูบานใดบานหนึ่งและได้สิ่งที่อยู่ข้างหลัง (ฉันไม่รู้ว่ามีผู้เข้าร่วมอย่างน้อยหนึ่งคนที่อยากได้แพะหรือไม่ แต่เพื่อความเรียบง่าย เราจะถือว่าผู้เข้าร่วมส่วนใหญ่ฝันถึงรถคันใหม่)
ความน่าจะเป็นเริ่มต้นของการชนะนั้นค่อนข้างง่ายที่จะกำหนด มีประตูสามบาน สองบานซ่อนแพะ และบานที่สามซ่อนรถ เมื่อผู้เข้าร่วมงานยืนอยู่หน้าประตูเหล่านี้พร้อมกับมอนตี้ ฮอลล์ เขามีโอกาส 1 ใน 3 ที่จะเลือกประตูที่อยู่ด้านหลังรถ แต่ดังที่กล่าวไว้ข้างต้น มีจุดที่น่าสนใจใน Let's Make a Deal ที่ทำให้รายการทีวีนี้และผู้นำเสนอเป็นอมตะในวรรณคดีเกี่ยวกับทฤษฎีความน่าจะเป็น หลังจากที่ผู้เข้ารอบสุดท้ายของการแสดงชี้ไปที่ประตูบานใดบานหนึ่งในสามบาน มอนตี้ ฮอลล์ก็เปิดประตูบานหนึ่งจากสองบานที่เหลือ ซึ่งด้านหลังมีแพะอยู่เสมอ จากนั้น มอนตี้ ฮอลล์ถามผู้เข้ารอบสุดท้ายว่าเขาต้องการเปลี่ยนใจหรือไม่ นั่นคือ ละทิ้งประตูที่ปิดไว้ก่อนหน้านี้และเลือกประตูที่ปิดอีกบานหนึ่ง
สมมติว่าผู้เข้าร่วมชี้ไปที่ประตู # 1 จากนั้นมอนตี้ฮอลล์ก็เปิดประตู # 3 ซึ่งอยู่ด้านหลังแพะซ่อนอยู่ ประตูสองบาน ประตู # 1 และ ประตู # 2 ยังคงปิดอยู่ หากรางวัลอันมีค่าอยู่หลังประตูหมายเลข 1 ผู้เข้ารอบสุดท้ายก็จะชนะ และถ้ามันอยู่หลังประตูหมายเลข 2 เขาก็จะแพ้ เมื่อถึงจุดนี้ Monty Hall จะถามผู้เล่นว่าต้องการเปลี่ยนตัวเลือกเริ่มต้นหรือไม่ (ในกรณีนี้ ให้ละทิ้งประตู # 1 ไปแทนประตู # 2) แน่นอน คุณจะจำได้ว่าประตูทั้งสองบานยังคงปิดอยู่ ข้อมูลใหม่เพียงอย่างเดียวที่ผู้เข้าร่วมได้รับคือแพะตัวนี้ลงเอยที่ประตูบานใดบานหนึ่งในสองบานที่เขาไม่ได้เลือก
ผู้เข้ารอบสุดท้ายควรละทิ้งตัวเลือกเริ่มต้นเพื่อสนับสนุนประตู # 2 หรือไม่?
ฉันตอบ: ใช่ มันควรจะเป็น ถ้าเขายึดติดกับตัวเลือกเดิม ความน่าจะเป็นที่จะได้รับรางวัลอันมีค่าจะเป็น ⅓; ถ้าเขาเปลี่ยนใจและชี้ไปที่ประตูหมายเลข 2 ความน่าจะเป็นที่จะได้รับรางวัลอันมีค่าจะเป็น ⅔ หากคุณไม่เชื่อฉันอ่านต่อ
ฉันยอมรับว่าคำตอบนี้ไม่ชัดเจนในแวบแรก ดูเหมือนว่าผู้เข้ารอบสุดท้ายจะเลือกประตูใดในสองประตูที่เหลือ ความน่าจะเป็นที่จะได้รับรางวัลอันมีค่าในทั้งสองกรณีคือ ⅓ มีประตูปิดอยู่สามประตู ในตอนแรก ความน่าจะเป็นที่รางวัลล้ำค่าซ่อนอยู่หลังรางวัลใดๆ คือ ⅓ การตัดสินใจของผู้เข้ารอบสุดท้ายในการเปลี่ยนแปลงทางเลือกของเขาเพื่อเป็นทางเลือกอื่นที่ปิดไว้สร้างความแตกต่างหรือไม่?
แน่นอน เนื่องจากสิ่งที่จับได้คือมอนตี้ ฮอลล์รู้ว่าอะไรอยู่เบื้องหลังทุกประตูหากผู้เข้ารอบสุดท้ายเลือกประตู # 1 และมีรถอยู่ด้านหลังจริงๆ มอนตี้ ฮอลล์ สามารถเปิดประตู # 2 หรือ ประตู # 3 เพื่อเผยให้เห็นแพะที่ซุ่มซ่อนอยู่เบื้องหลัง
หากผู้เข้ารอบสุดท้ายเลือกประตู 1 และรถอยู่หลังประตู 2 แล้ว Monty Hall จะเปิดประตู 3
หากผู้เข้ารอบสุดท้ายชี้ไปที่ประตู 1 และรถอยู่หลังประตู 3 แล้ว Monty Hall จะเปิดประตู 2
โดยการเปลี่ยนใจหลังจากที่ผู้นำเสนอเปิดประตูบานหนึ่ง ผู้เข้ารอบสุดท้ายจะได้เปรียบในการเลือกประตูสองบานแทนที่จะเป็นประตูเดียว ฉันจะพยายามโน้มน้าวคุณถึงความถูกต้องของการวิเคราะห์นี้ในสามวิธีที่แตกต่างกัน
ประการแรกคือเชิงประจักษ์ ในปี 2008 John Tyerney คอลัมนิสต์ของ New York Times เขียนเกี่ยวกับปรากฏการณ์ Monty Hall หลังจากนั้นเจ้าหน้าที่ของสิ่งพิมพ์ได้พัฒนาโปรแกรมแบบโต้ตอบที่ให้คุณเล่นเกมนี้และตัดสินใจว่าจะเปลี่ยนตัวเลือกเริ่มต้นของคุณหรือไม่ (โปรแกรมนี้ยังมีให้สำหรับแพะตัวเล็กและรถเล็กๆ ที่โผล่มาจากหลังประตู) โปรแกรมจะบันทึกเงินรางวัลของคุณไว้ในกรณีที่คุณเปลี่ยนตัวเลือกแรกเริ่ม และในกรณีที่คุณไม่มั่นใจ ฉันจ่ายเงินให้ลูกสาวคนหนึ่งเล่นเกมนี้ 100 ครั้ง โดยเปลี่ยนตัวเลือกเดิมของเธอในแต่ละครั้ง ฉันยังจ่ายเงินให้พี่ชายของเธอเล่นเกม 100 ครั้งด้วย โดยรักษาการตัดสินใจเดิมทุกครั้ง ลูกสาวชนะ 72 ครั้ง; พี่ชายของเธอ 33 ครั้ง ความพยายามแต่ละครั้งได้รับรางวัลสองเหรียญ
หลักฐานจากตอนของเกม Let's Make a Deal แสดงให้เห็นรูปแบบเดียวกัน ตามคำบอกของ Leonard Mlodinov ผู้เขียน The Druncard's Walk ผู้เข้ารอบสุดท้ายที่เปลี่ยนตัวเลือกเริ่มต้นของพวกเขามีแนวโน้มที่จะชนะเป็นสองเท่าของผู้ที่ไม่มั่นใจ
คำอธิบายที่สองของฉันสำหรับปรากฏการณ์นี้ขึ้นอยู่กับสัญชาตญาณ สมมติว่ากฎของเกมมีการเปลี่ยนแปลงเล็กน้อย ตัวอย่างเช่น ผู้เข้ารอบสุดท้ายเริ่มต้นด้วยการเลือกหนึ่งในสามประตู: ประตู # 1, ประตู # 2 และ ประตู # 3 ตามแผนเดิม อย่างไรก็ตาม ก่อนเปิดประตูบานใดที่แพะซ่อนอยู่ด้านหลัง มอนตี้ ฮอลล์ถามว่า: "คุณตกลงที่จะยกเลิกทางเลือกของคุณเพื่อแลกกับการเปิดประตูสองบานที่เหลือหรือไม่" ดังนั้น หากคุณเลือกประตู # 1 คุณสามารถเปลี่ยนความคิดของคุณให้เป็นประตู # 2 และประตู # 3 หากคุณชี้ไปที่ประตู # 3 ก่อน คุณสามารถเลือกประตู # 1 และ ประตู # 2 และอื่นๆ
การตัดสินใจนี้ไม่ใช่การตัดสินใจที่ยากเป็นพิเศษสำหรับคุณ: ค่อนข้างชัดเจนว่าคุณควรละทิ้งตัวเลือกแรกเข้า ให้เหลือสองประตูที่เหลือ เนื่องจากวิธีนี้จะเพิ่มโอกาสในการชนะจาก ⅓ เป็น ⅔ สิ่งที่น่าสนใจที่สุดคือโดยพื้นฐานแล้ว Monty Hall เสนอให้คุณในเกมจริงหลังจากเปิดประตูที่แพะซ่อนอยู่ ข้อเท็จจริงพื้นฐานก็คือ หากคุณได้รับโอกาสในการเลือกประตูสองบาน แพะก็จะถูกซ่อนอยู่หลังประตูบานหนึ่งอยู่ดี เมื่อมอนตี้ ฮอลล์ เปิดประตูตามหลังแพะตัวนั้น และเพียงแต่จะถามคุณว่าคุณตกลงที่จะเปลี่ยนตัวเลือกแรกเริ่มหรือไม่ มันก็จะเพิ่มโอกาสที่คุณจะได้รับรางวัลอันล้ำค่าได้อย่างมาก! โดยทั่วไปแล้ว Monty Hall กำลังบอกคุณว่า "โอกาสที่รางวัลอันมีค่าจะซ่อนอยู่หลังประตูบานใดบานหนึ่งจากสองประตูที่คุณไม่ได้เลือกในครั้งแรกคือ ⅔ ซึ่งยังมีมากกว่า ⅓!"
คุณสามารถจินตนาการได้เช่นนี้ สมมติว่าคุณชี้ไปที่ประตู # 1 หลังจากนั้น มอนตี้ ฮอลล์ เปิดโอกาสให้คุณละทิ้งการตัดสินใจเดิม เพื่อสนับสนุนประตู # 2 และประตู # 3 คุณเห็นด้วย และคุณมีประตูสองบานพร้อมใช้ ซึ่งหมายความว่าคุณมี ทุกเหตุผลคาดหวังว่าจะได้รับรางวัลอันมีค่าด้วยความน่าจะเป็น ⅔ ไม่ใช่ ⅓ จะเกิดอะไรขึ้นถ้าในขณะนี้ มอนตี้ ฮอลล์ เปิดประตู 3 ซึ่งเป็นหนึ่งในประตู "ของคุณ" และมีแพะอยู่ข้างหลังมัน ข้อเท็จจริงนี้จะทำให้ความมั่นใจในการตัดสินใจของคุณสั่นคลอนหรือไม่? แน่นอนไม่ ถ้ารถซ่อนอยู่หลังประตู 3 มอนตี้ ฮอลล์ก็จะเปิดประตู 2! เขาจะไม่แสดงอะไรให้คุณดู
เมื่อเล่นเกมโดยอิงจากสถานการณ์ที่ไม่คาดฝัน มอนตี้ ฮอลล์ให้คุณเลือกระหว่างประตูที่คุณระบุไว้ในตอนเริ่มต้นกับประตูที่เหลืออีก 2 ประตู ซึ่งหนึ่งในนั้นอาจเป็นรถยนต์ เมื่อมอนตี้ ฮอลล์เปิดประตูหลังที่แพะกำลังซ่อนอยู่ เขาแค่ให้ความช่วยเหลือคุณโดยแสดงให้คุณเห็นว่าประตูใดในสองประตูที่เหลือที่ไม่ใช่รถ คุณมีโอกาสชนะเท่ากันในทั้งสองสถานการณ์ต่อไปนี้
- เลือกประตู # 1 จากนั้นตกลงที่จะ "เปลี่ยน" เป็นประตู # 2 และประตู # 3 ก่อนที่ประตูใดๆ จะถูกเปิด
- เลือกประตู # 1 จากนั้นตกลงที่จะ "เปลี่ยน" เป็นประตู # 2 หลังจากที่มอนตี้ฮอลล์แสดงแพะหลังประตู # 3 (หรือเลือกประตู # 3 หลังจากมอนตี้ฮอลล์แสดงแพะหลังประตู # 2)
ในทั้งสองกรณี การละทิ้งการตัดสินใจเดิมจะทำให้คุณได้เปรียบจากสองประตูมากกว่าหนึ่ง และคุณสามารถเพิ่มโอกาสในการชนะจาก ⅓ เป็น ⅔ เป็นสองเท่า
ตัวเลือกที่สามของฉันคือสัญชาตญาณพื้นฐานแบบเดียวกันที่ต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง สมมติว่ามอนตี้ ฮอลล์ขอให้คุณเลือกประตูจากทั้งหมด 100 ประตู (แทนที่จะเป็น 3 ประตู) หลังจากที่คุณทำเช่นนี้ ให้พูดโดยชี้ไปที่ประตู # 47 เขาเปิดประตูที่เหลืออีก 98 บาน ซึ่งจะเผยให้เห็นแพะ ขณะนี้มีเพียงสองประตูเท่านั้นที่ยังคงปิดอยู่: ประตูหมายเลข 47 และประตูอีกบาน ตัวอย่างเช่น ประตูหมายเลข 61 คุณควรละทิ้งตัวเลือกแรกเริ่มหรือไม่?
แน่นอนใช่! มีโอกาส 99 เปอร์เซ็นต์ที่รถจะอยู่หลังประตูบานใดบานหนึ่งที่คุณไม่ได้เลือกในตอนแรก มอนตี้ ฮอลล์ ให้เกียรติคุณโดยการเปิดประตู 98 บานนี้ ไม่มีรถอยู่ข้างหลังพวกเขา ดังนั้น มีโอกาสเพียง 1 ใน 100 ที่ตัวเลือกเริ่มต้นของคุณ (ประตู # 47) จะถูกต้อง ในขณะเดียวกัน มีโอกาส 99 ใน 100 ที่ตัวเลือกเริ่มต้นของคุณผิดพลาด ถ้าใช่ แสดงว่ารถอยู่หลังประตูที่เหลือ นั่นคือ ประตูหมายเลข 61 หากคุณต้องการเล่นด้วยความน่าจะเป็นที่จะชนะ 99 ครั้งจาก 100 ครั้ง คุณควร "เปลี่ยน" เป็นประตูหมายเลข 61
กล่าวโดยย่อ หากคุณต้องเล่น Let's Make a Deal คุณจะต้องย้อนรอยการตัดสินใจเดิมของคุณเมื่อ Monty Hall (หรือใครก็ตามที่จะมาแทนที่เขา) ให้ทางเลือกแก่คุณ ข้อสรุปที่เป็นสากลมากขึ้นจากตัวอย่างนี้คือ การคาดเดาโดยสัญชาตญาณของคุณเกี่ยวกับความน่าจะเป็นของเหตุการณ์บางอย่างอาจทำให้คุณเข้าใจผิดในบางครั้ง